两数立方和与立方差

第一步(通过展开右边的代数证明)。展开 $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$。中间的项 $a^2b$ 与 $-a^2b$ 相消,$ab^2$ 与 $-ab^2$ 也相消,恰好剩下 $a^3-b^3$。

第二步(通过体积的几何证明)。取一个棱长为 $a$ 的立方体(体积 $a^3$),从一角去掉一个棱长为 $b$ 的小立方体(体积 $b^3$);剩下的立体体积为 $a^3-b^3$。这个剩余立体可以切成三块厚度均为 $a-b$ 的长方体薄片:$a\times a\times(a-b)$ 的薄片、$a\times b\times(a-b)$ 的薄片,以及 $b\times b\times(a-b)$ 的薄片。它们的体积之和为 $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$,恰好与剩余体积相符。

第三步(立方和版本,通过代换)。在立方差恒等式中把 $b$ 换成 $-b$,得到 $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$,化简后得 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。