米尔诺–什瓦茨引理

固定 $x_0 \in X$，利用 $X/G$ 的紧性，选取足够大的 $R$，使得闭球 $\bar B(x_0,R)$ 的 $G$-像覆盖整个 $X$。令 $S = \{\, g \in G : g \ne e,\ d_X(x_0,gx_0) \le 2R+1 \,\}$，由正常不连续性可知这是一个有限集。要说明 $S$ 生成 $G$：任取 $g \in G$，沿着从 $x_0$ 到 $g x_0$ 的测地线，标出间隔不超过 $2R$ 的点 $x_0 = g_0 x_0, g_1 x_0, \dots, g_n x_0 = g x_0$；相邻两点满足 $d_X(g_{i-1}x_0, g_i x_0) \le 2R$，故 $g_{i-1}^{-1} g_i \in S$，将这 $n \le d_X(x_0, g x_0)/(2R) + 1$ 个 $S$ 中的元素相乘即可复原 $g$。于是存在只依赖于 $R$ 的常数 $C_1$，使得 $d_S(e,g) \le C_1\, d_X(x_0,gx_0) + C_1$。反过来，每个生成元使 $x_0$ 移动不超过 $2R+1$，故 $d_X(x_0,gx_0) \le (2R+1)\, d_S(e,g)$。这两个不等式表明，对适当的 $\lambda,\varepsilon$，$g \mapsto g x_0$ 是一个 $(\lambda,\varepsilon)$-拟等距嵌入，而余紧性（$X$ 中每一点都与 $x_0$ 的某个 $G$-像相距不超过 $R$）使其像是粗稠密的——因此它是一个拟等距，又因为它在整个 $G$ 上有定义，有限集 $S$ 便生成了 $G$。