定理已证明

位似变换下距离与面积的缩放比

命题陈述

在以 $I$ 为中心、比为 $k \neq 0$ 的位似变换 $V_{(I, k)}$ 下,对于任意两点 $A, B$ 及其像 $A' = V_{(I,k)}(A)$ 和 $B' = V_{(I,k)}(B)$ ,有 $\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ ,从而 $A'B' = |k|\cdot AB$ 。因此,任意三角形 $ABC$ 的面积按比值的平方缩放: $[A'B'C'] = k^2 \cdot [ABC]$ 。

为什么成立?

因为每个点都按同一倍数 $k$ 远离(或靠近)中心 $I$ ,由 $I$ 与任意两点 $A, B$ 构成的三角形在两条径向边上均匀缩放,故由泰勒斯定理知第三边 $A'B'$ 与 $AB$ 保持平行且长度乘以 $|k|$ 。面积是二维量(底乘高),由于底和高都乘以 $|k|$ ,它们的乘积就乘以 $|k| \cdot |k| = k^2$ 。

证明思路

由位似的定义, $\overrightarrow{IA'} = k\,\overrightarrow{IA}$ 且 $\overrightarrow{IB'} = k\,\overrightarrow{IB}$ 。用第一个向量方程减去第二个可得 $\overrightarrow{IA'} - \overrightarrow{IB'} = k(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB})$ 。

对两边应用向量减法法则 $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BA}$ ,即得 $\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ 。两边取模长立即得到 $A'B' = |\overrightarrow{B'A'}| = |k| \cdot |\overrightarrow{BA}| = |k| \cdot AB$ 。

现在考虑任意三角形 $ABC$ 。从 $C$ 到直线 $AB$ 的高 $h$ 是 $C$ 与其在 $AB$ 上的正交投影 $H$ 之间的距离。由于位似保持平行性与角度,它也保持垂直性,因此 $H' = V_{(I,k)}(H)$ 就是 $A'B'C'$ 的高线垂足。于是底边 $A'B' = |k|\cdot AB$ 与高 $C'H' = |k|\cdot CH$ 都乘以 $|k|$ ,从而 $[A'B'C'] = \tfrac{1}{2} A'B' \cdot C'H' = |k|^2 \cdot \tfrac{1}{2} AB \cdot CH = k^2 \cdot [ABC]$ 。

用到此定理的主题

几何变换

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry
Wikipedia contributors (2026). Geometric transformation — Wikipedia