行列式的乘性

首先回顾三种基本行变换对行列式的影响(这可以直接从莱布尼茨求和式 $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$ 得出,因为该和式的每一项分别对每一行都是线性的):交换两行使 $\det$ 乘以 $-1$,把某一行乘以 $k$ 使 $\det$ 乘以 $k$,把某一行的若干倍加到另一行上则 $\det$ 不变。

对 $A$ 施行的每一个基本行变换,都等价于用相应的初等矩阵 $E$ 左乘 $A$(把同一变换施加到单位矩阵 $I$ 上即可得到)。与上一段对照可知,$\det(E)$ 恰好等于该变换的缩放系数($-1$、$k$ 或 $1$),所以对每个初等矩阵 $E$,都有 $\det(EA)=\det(E)\det(A)$。

情形一,$A$ 可逆:高斯消元法用有限次基本行变换把任意可逆矩阵化为单位矩阵,即存在初等矩阵 $E_1,\dots,E_m$ 使 $E_m\cdots E_1A=I$,于是 $A=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}$,它本身就是初等矩阵的乘积(初等矩阵的逆也是同类型的初等矩阵)。反复利用上一段的等式,得 $\det(A)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})$;再把它用到 $AB=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}B$ 上,得 $\det(AB)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})\det(B)=\det(A)\det(B)$。

情形二,$A$ 奇异:此时 $\det(A)=0$(奇异矩阵不能完全化为单位矩阵,上面的行变换规则表明,任何能达到的行阶梯形仍含有一行全为零,沿该行做余子式展开就迫使 $\det=0$)。奇异还意味着 $\operatorname{rank}(A)<n$,而对任意 $B$ 都有 $\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A)<n$,所以乘积 $AB$ 也是奇异的,从而 $\det(AB)=0$。因此 $\det(AB)=0=0\cdot\det(B)=\det(A)\det(B)$,等式在这种情形下同样成立,至此对一切 $A$ 完成证明。