互异特征值对应的特征向量线性无关

我们对 $k$ 用归纳法证明。当 $k = 1$ 时结论显然成立:单个非零向量必然线性无关。

假设结论对 $k - 1$ 个互异特征值成立,反设 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ 线性相关。于是存在关系式 $c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$,且并非所有 $c_i$ 都为零。

对两边作用 $A$:由 $A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$,得到 $c_1 \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$。将原关系式乘以 $\lambda_k$ 后与这个新方程相减,含 $\mathbf{v}_k$ 的项恰好抵消,剩下 $c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{v}_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0}$。

由归纳假设,$\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_{k-1}$ 线性无关,故最后这个关系式中每个系数都必须为零:对所有 $i < k$ 有 $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$。由于特征值两两互异,$\lambda_i - \lambda_k \neq 0$,因此对所有 $i < k$ 都有 $c_i = 0$。

代回原关系式,只剩下 $c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$;由特征向量定义 $\mathbf{v}_k \neq \mathbf{0}$,故 $c_k = 0$ 也成立。所有系数皆为零,与"并非所有 $c_i$ 为零"的假设矛盾。因此不存在这样的相关关系,特征向量线性无关。