实对称矩阵的谱定理

我们先给出一个引理:实对称矩阵的特征值都是实数。设 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$,$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ 可能是复向量,考虑 $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v}$,其中 $\mathbf{v}^{*}$ 是共轭转置。由于 $A$ 是实对称矩阵,$\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v} = (\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v})^{*}$,故该量为实数;但它也等于 $\lambda \, \mathbf{v}^{*}\mathbf{v}$,而 $\mathbf{v}^{*}\mathbf{v} > 0$ 是正实数,于是 $\lambda$ 本身必为实数。

下面对 $n$ 用归纳法证明定理。$n = 1$ 时结论平凡:任何 $1 \times 1$ 矩阵已经是对角矩阵,取 $Q = (1)$ 即可。

归纳步骤:假设定理对所有 $n - 1$ 阶实对称矩阵成立。由于 $A$ 是 $n \times n$ 实对称矩阵,由引理其特征多项式有实根 $\lambda_1$;取相应的特征向量并归一化为单位向量 $\mathbf{v}_1$。

设 $W$ 是 $\mathbf{v}_1$ 张成的直线的正交补,是一个 $(n-1)$ 维子空间。我们断言 $W$ 在 $A$ 下不变:对任意 $\mathbf{w} \in W$(即 $\mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$),计算 $(A\mathbf{w})^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$,中间一步用到了 $A$ 的对称性。因此 $A\mathbf{w}$ 仍与 $\mathbf{v}_1$ 正交,即 $A\mathbf{w} \in W$。

取 $W$ 的一组标准正交基;在此基下,$A$ 限制在 $W$ 上由一个 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵 $A'$ 表示,且 $A'$ 也是对称的($A$ 对称,把对称双线性型限制到子空间上,在标准正交基下仍保持对称)。由归纳假设,$A'$ 在 $W$ 内有一组由特征向量 $\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 构成的标准正交基,对应实特征值 $\lambda_2, \dots, \lambda_n$;由于 $W$ 是 $A$-不变的,这些向量也是 $A$ 本身真正的特征向量。

将 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 汇集起来,就得到了 $\mathbb{R}^n$ 的一组完全由 $A$ 的特征向量构成的标准正交基。把它们作为矩阵 $Q$ 的列,则 $Q$ 是正交矩阵,且 $AQ = Q\Lambda$(其中 $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$);由于正交矩阵满足 $Q^{-1} = Q^\top$,这恰好整理为 $A = Q \Lambda Q^\top$,归纳完成。