$\mathcal O_K$ 对加法与乘法封闭

情形 $d\equiv2,3\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$,即所有满足 $a,b\in\mathbb Z$ 的元素 $a+b\sqrt d$):加法按分量进行,$(a+b\sqrt d)+(c+e\sqrt d)=(a+c)+(b+e)\sqrt d$,显然仍是该形式。对乘法,$(a+b\sqrt d)(c+e\sqrt d)=(ac+bed)+(ae+bc)\sqrt d$,由于 $a,b,c,e,d\in\mathbb Z$,$ac+bed$ 与 $ae+bc$ 都是整数,故乘积仍在 $\mathbb Z[\sqrt d]$ 中。

情形 $d\equiv1\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega]$,其中 $\omega=\tfrac{1+\sqrt d}2$):先直接计算 $\omega^2$。$\omega^2=\left(\tfrac{1+\sqrt d}2\right)^2=\tfrac{1+2\sqrt d+d}4=\tfrac{1+d}4+\tfrac{\sqrt d}2$。因 $\sqrt d=2\omega-1$,这等于 $\tfrac{1+d}4+\omega-\tfrac12=\tfrac{d-1}4+\omega$。因 $d\equiv1\pmod4$,$t:=\tfrac{d-1}4$ 是整数,故 $\omega^2=t+\omega$:这是一个真正的整数关系,表明 $\omega$ 满足首一整系数多项式 $x^2-x-t$,证实 $\omega$ 本身是代数整数(理应如此,与定理1一致),更关键的是把 $\omega^2$ 重新表示为 $1$ 与 $\omega$ 的整数组合。

现在取一般元素 $a+b\omega$ 与 $c+e\omega$,其中 $a,b,c,e\in\mathbb Z$;加法仍按分量进行,显然封闭。对乘积,$(a+b\omega)(c+e\omega)=ac+(ae+bc)\omega+be\,\omega^2=ac+(ae+bc)\omega+be(t+\omega)=(ac+bet)+(ae+bc+be)\omega$。两个系数 $ac+bet$ 与 $ae+bc+be$ 都是整数(整数的乘积与和),故乘积落在 $\mathbb Z+\mathbb Z\omega=\mathbb Z[\omega]$ 中。

两种情形下,对加法与乘法的封闭性都通过直接的初等计算得到验证,证实 $\mathcal O_K$ 在每个二次域中确实是包含 $\mathbb Z$ 的 $K$ 的子环,正如"整数环"这个名字所承诺的那样。