通过中心极限定理构造均值的置信区间

由中心极限定理,$\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$ 在 $n$$\to\infty$ 时依分布收敛于 $N(0,1)$。所以当 $n$ 较大时,$-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \le z_{\alpha/2}$ 以约 $1-\alpha$ 的概率成立,其中 $z_{\alpha/2}$ 是使 $N(0,1)$ 每个尾部留下概率 $\alpha/2$ 的值。

将不等式三边都乘以 $\frac{\sigma}{\sqrt n}$$>0$(不改变不等号方向):$-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \bar X - \mu \le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$。

所有边都减去 $\bar X$,再乘以 $-1$(不等号方向翻转):$\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \mu \le \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$。这正是置信区间公式:由于原来的概率命题以约 $1-\alpha$ 的概率成立,重新整理后的这个区间也以同样的概率包含 $\mu$。