样本均值是无偏的

根据定义,$\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$。期望是线性算子,因此可以分配到求和及常数因子 $\frac{1}{n}$ 上:$E[\bar X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i]$。

由于每个 $X_i$ 都来自同一总体,对 $n$ 项中的每一项都有 $E[X_i] = \mu$,于是求和化简为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n}(n\mu) = \mu$。

因此对任意样本量 $n$ 都有 $E[\bar X] = \mu$:无论样本大小,样本均值都是无偏的。这只是关于抽样分布中心的结论——该分布的离散程度 $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2/n$ 仍会随 $n$ 增大而缩小,这正是下面置信区间所用到的。