特殊情形 $k=3$:范德科皮特定理

第一步(用指数和加权计数)。记 $S(\theta) = \sum_{n \le N} \Lambda(n) e(\theta n)$。所有项均 $\le N$ 的三项数列 $p_1 + p_3 = 2p_2$ 的加权计数,由指数函数的正交性等于 $\int_0^1 S(\theta)^2 S(-2\theta) \, d\theta$。

第二步(主弧)。在分母 $q$ 较小的有理数 $\theta \approx a/q$ 附近,$S(\theta)$ 可由算术级数中的素数定理很好地近似;将这些贡献相加得到哈代–李特尔伍德主项 $\mathfrak{S}(N) \, N^2 / \log^3 N$,其中奇异级数 $\mathfrak{S}(N)$ 是仅依赖于模 $q$ 局部素数密度的正常数。

第三步(次弧)。在远离小分母有理数的区域,Vinogradov 的估计利用素数求和中的抵消,对任意固定的 $A$ 给出 $S(\theta)$ 的界 $O(N (\log N)^{-A})$;在次弧上对此界积分表明它们的总贡献为 $o(N^2/\log^3 N)$——相对于主弧主项可以忽略不计。

第四步(结论)。由于主弧主项 $\mathfrak{S}(N)\,N^2/\log^3 N$ 远大于可忽略的次弧误差,三项数列的加权计数按 $N^2/\log^3 N \to \infty$ 增长,因此存在无穷多个(且渐近意义下很多)由素数组成的三项等差数列——整整早于一般情形被解决65年。