方差的简便公式

根据定义,$\mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$,其中 $\mu = E[X]$。展开期望内部的平方:$(X-\mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$。

对每一项应用期望的线性性:$E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2$。由于 $\mu$ 是常数(不依赖于结果),可以在中间项和最后一项中提到期望之外。

再把 $E[X] = \mu$ 代回:$E[X^2] - 2\mu\cdot\mu + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2$。把 $\mu$ 换回 $E[X]$,恰好得到所要证明的 $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$。