冯·诺伊曼极小极大定理

弱对偶性。 对任意固定的 $x_0 \in \Delta_m$ 和 $y_0 \in \Delta_n$：$\min_y x_0^\top A y \le x_0^\top A y_0 \le \max_x x^\top A y_0$。对左边取 $\max_{x_0}$、对右边取 $\min_{y_0}$ 仍保持不等式：$\max_x \min_y x^\top A y \le \min_y \max_x x^\top A y$。这个方向完全不需要随机化的论证。

归约为线性规划。 由于 $y \mapsto x^\top A y$ 是线性的，其在单纯形 $\Delta_n$ 上的最小值在某个顶点取得，即在某个纯策略 $j$ 处取得：$\min_y x^\top A y = \min_{j} \sum_{i=1}^m x_i A_{ij}$。因此行参与人的问题 $\max_x \min_y x^\top A y$ 就是如下线性规划：最大化 $v$，约束为 $\sum_{i=1}^m A_{ij} x_i \ge v$（对所有 $j = 1, \dots, n$），且 $x \in \Delta_m$。

对偶规划。 由线性规划的标准对偶理论，该线性规划的对偶为：最小化 $w$，约束为 $\sum_{j=1}^n A_{ij} y_j \le w$（对所有 $i = 1, \dots, m$），且 $y \in \Delta_n$ —— 这恰好是列参与人问题 $\min_y \max_x x^\top A y$ 的线性规划表述。

强对偶性。 原始与对偶的可行域（$\Delta_m$ 和 $\Delta_n$）都非空且紧致，因此该线性规划可行且有界；线性规划的强对偶定理由此保证原始与对偶最优值相等：$\max_x \min_y x^\top A y = \min_y \max_x x^\top A y$。结合此前弱对偶性已给出该方向的 $\le$，等式成立，定理得证。