威尔逊定理

($\Rightarrow$)当 $p$ 为素数时,把每个 $k\in\{2,\dots,p-2\}$ 与其模 $p$ 逆元配对(绝不会是自身,因为 $x^2\equiv1\pmod p$ 只在 $x\equiv\pm1$ 时成立);这些配对相乘为 $1$,余下 $(p-1)!\equiv 1\cdot(p-1)\equiv -1\pmod p$。($\Leftarrow$)若 $n$ 是合数,有真因子 $1<d<n$,则 $d$ 作为因子出现在 $(n-1)!$ 中,故 $d\mid(n-1)!$,从而 $(n-1)!\not\equiv-1\pmod n$。