定理已证明

全概率公式

命题陈述

设 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个划分,即当 $i \neq j$ 时 $B_i \cap B_j = \varnothing$ ,且 $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = \Omega$ ,并且对每个 $i$ 都有 $P(B_i) > 0$ 。那么对任意事件 $A$ ,都有 $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ 。

为什么成立?

由于 $B_i$ 划分了 $\Omega$ ,事件 $A$ 自动被切成 $n$ 个互不相交的部分,每个部分都落在某个 $B_i$ 之内;把用乘法法则表示的每个部分的概率相加,就能不重不漏地还原出整个 $P(A)$ 。

证明思路

第一步(用 $B_i$ 划分 $A$ ):对每个 $i = 1, \ldots, n$ ,令 $A_i = A \cap B_i$ 。由于 $B_i$ 两两不相交, $A_i$ 也两两不相交;又因为 $B_1 \cup \cdots \cup B_n = \Omega \supseteq A$ ,所以 $A$ 中的每个结果都恰好属于某一个 $A_i$ ,于是 $A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ ,且这个并是不相交的。

第二步(把不相交部分的概率相加):由于概率对两两不相交的事件具有可加性, $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i)$ 。

第三步(用乘法法则改写每一项):对每个 $i$ ,由乘法法则得 $P(A \cap B_i) = P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ ,由于 $P(B_i) > 0$ ,该式有意义。

第四步(代回原式):把第二步中每个 $P(A \cap B_i)$ 替换为 $P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ ,恰好得到 $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ ,即为所证。

用到此定理的主题

条件概率与贝叶斯定理

分步证明

该定理暂无分步证明。