MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1991

Đề thi

  1. Bài 1Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Lấy X trên AB và Y trên AC sao cho X, Y, G thẳng hàng và XY song song với BC. Gọi Q là giao điểm của XC và GB, còn P là giao điểm của YB và GC. Chứng minh tam giác MPQ đồng dạng với tam giác ABC.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Giả sử trên mặt phẳng cho 997 điểm. Trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối hai điểm được tô màu đỏ. Chứng minh rằng có ít nhất 1991 điểm đỏ. Tìm một trường hợp đặc biệt có đúng 1991 điểm đỏ.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho a_1,a_2,...,a_n và b_1,b_2,...,b_n là các số thực dương với a_1+...+a_n=b_1+...+b_n. Chứng minh rằng ∑i=1nai2ai+bi≥a1+⋯+an2\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Trong giờ nghỉ, có n trẻ ngồi thành vòng tròn. Giáo viên chọn một trẻ và cho em đó một viên kẹo, bỏ qua trẻ kế tiếp rồi cho viên kẹo tiếp theo cho người sau nữa; sau đó lần lượt bỏ qua 2 trẻ, rồi 3 trẻ, v.v. Với những giá trị nào của n thì cuối cùng mọi trẻ đều nhận được ít nhất một viên kẹo?Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau và một điểm P trên tiếp tuyến chung của chúng, trong đó tiếp tuyến này vuông góc với đường nối tâm. Hãy dùng thước và compa dựng tất cả các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn đã cho và đi qua P.Các cách giải: 1