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亚太数学奥林匹克
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1991年
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第3题
第3题
设a_1,a_2,...,a_n和b_1,b_2,...,b_n为正实数，且a_1+...+a_n=b_1+...+b_n。证明
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
≥
a
1
+
⋯
+
a
n
2
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}
∑
i
=
1
n
a
i
+
b
i
a
i
2
≥
2
a
1
+
⋯
+
a
n
。
第 1/3 步：应用柯西–施瓦茨不等式
上一步
下一步
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
)
(
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
)
≥
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
2
.
\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{a_i+b_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2.
(
i
=
1
∑
n
a
i
+
b
i
a
i
2
)
(
i
=
1
∑
n
(
a
i
+
b
i
)
)
≥
(
i
=
1
∑
n
a
i
)
2
.
详细分析
对正的分母a_i+b_i使用不等式的Engel形式。分母为正保证了所有除法都有意义。
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