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亚太数学奥林匹克 · 1991年

试题

  1. 第1题设G是三角形ABC的重心，M是BC的中点。取AB上的点X和AC上的点Y，使X、Y、G共线且XY平行于BC。设Q为XC与GB的交点，P为YB与GC的交点。证明三角形MPQ与三角形ABC相似。解法: 1
  2. 第2题平面上给定997个点。任意两点连成的线段其中点染成红色。证明至少有1991个红点，并找出恰有1991个红点的特殊情形。解法: 1
  3. 第3题设a_1,a_2,...,a_n和b_1,b_2,...,b_n为正实数，且a_1+...+a_n=b_1+...+b_n。证明 ∑i=1nai2ai+bi≥a1+⋯+an2\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}。解法: 1
  4. 第4题课间，n个孩子围坐成一圈。老师选定一个孩子给他一颗糖，跳过下一个孩子后给再下一个孩子；接着跳过2个孩子、再跳过3个孩子，如此继续。求哪些n能使每个孩子最终都至少得到一颗糖。解法: 1
  5. 第5题给定两个相切圆，以及公共切线上的一点P，其中该切线垂直于两圆心的连线。用直尺和圆规作出所有与这两个圆相切且经过P的圆。解法: 1