Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1992

Đề thi

Bài 1Cho một tam giác có các cạnh a,b,c. Đặt s=(a+b+c)/2 là nửa chu vi của nó. Dựng tam giác có các cạnh s-a,s-b,s-c, rồi lặp lại quy trình khi còn có thể. Những tam giác ban đầu nào cho phép lặp quy trình vô hạn?Các cách giải: 1
Bài 2Trong đường tròn $C$ tâm $O$ và bán kính $r$ , cho hai đường tròn $C_1,C_2$ có tâm $O_1,O_2$ và bán kính $r_1,r_2$ . Mỗi $C_i$ tiếp xúc trong với $C$ tại $A_i$ , còn $C_1,C_2$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $OA$ , $O_1A_2$ và $O_2A_1$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n>3$ là một số nguyên. Chọn ba số từ $\{1,2,\ldots,n\}$ . Dùng mỗi số đúng một lần cùng với phép cộng, phép nhân và dấu ngoặc, lập tất cả các biểu thức có thể. (a) Chứng minh rằng nếu cả ba số được chọn đều lớn hơn $n/2$ thì các giá trị thu được đôi một khác nhau. (b) Cho $p$ là số nguyên tố với $p\le \sqrt{n}$ . Chứng minh rằng số cách chọn mà số nhỏ nhất bằng $p$ và các giá trị biểu thức không đôi một khác nhau đúng bằng số ước dương của $p-1$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(h,s)$ có tính chất sau: nếu vẽ $h$ đường thẳng nằm ngang và thêm $s$ đường thẳng thỏa mãn (i) không nằm ngang, (ii) không có hai đường nào song song, và (iii) không có ba đường nào trong tổng số $h+s$ đường đồng quy, thì số miền tạo thành là $1992$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm một dãy có độ dài lớn nhất gồm các số nguyên khác 0 sao cho tổng của mọi bảy số hạng liên tiếp là dương, còn tổng của mọi mười một số hạng liên tiếp là âm.Các cách giải: 1