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第5题

列表 AA 包含整数 k≥1k\ge1 对应的十进制数 10k10^k。列表 BB 和 CC 分别包含这些数的 22 进制和 55 进制表示。证明：对每个整数 n>1n>1，列表 BB、CC 中恰有一个列表恰好含有一个 nn 位数。
第 1/4 步：计算二进制位数
上一步下一步
2bk−1≤10k<2bk⟹bk=⌊klog⁡210⌋+12^{b_k-1}\le10^k<2^{b_k}\Longrightarrow b_k=\lfloor k\log_2 10\rfloor+1
详细分析

若 bkb_k 是 10k10^k 的二进制位数，则 2bk−1≤10k<2bk2^{b_k-1}\le10^k<2^{b_k}。取对数得到 bk=⌊klog⁡210⌋+1b_k=\lfloor k\log_2 10\rfloor+1。