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亚太数学奥林匹克 · 1994年

试题

  1. 第1题设函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 满足：对任意实数 x,yx,y，有 f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)；当 x∈[0,1)x\in[0,1) 时，f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)；且 −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1。求所有这样的函数。解法: 1
  2. 第2题给定非退化三角形 ABCABC，其外心为 OO、垂心为 HH、外接圆半径为 RR。证明 ∣OH∣<3R|OH|<3R。解法: 1
  3. 第3题求所有能写成 n=a2+b2n=a^2+b^2 的正整数 nn，其中 a,ba,b 是互素正整数，且每个满足 p<=sqrt(n)p <= sqrt(n) 的素数都整除 abab。解法: 1
  4. 第4题平面上是否存在一个无限点集，使任意三点不共线且任意两点间的距离都是有理数？解法: 1
  5. 第5题列表 AA 包含整数 k≥1k\ge1 对应的十进制数 10k10^k。列表 BB 和 CC 分别包含这些数的 22 进制和 55 进制表示。证明：对每个整数 n>1n>1，列表 BB、CC 中恰有一个列表恰好含有一个 nn 位数。解法: 1