MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1998

Đề thi

  1. Bài 1Cho S\mathcal S là tập mọi bộ nn-phần tử (A1,A2,…,An)(A_1,A_2,\ldots,A_n) trong đó mỗi AiA_i là tập con của {1,2,…,1998}\{1,2,\ldots,1998\}. Với K∈SK\in\mathcal S, đặt f(K)=∣A1∪A2∪⋯∪An∣f(K)=|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|. Tính ∑K∈Sf(K)\sum_{K\in\mathcal S}f(K).Các cách giải: 1
  2. Bài 2Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương aa và bb, tích (36a+b)(a+36b)(36a+b)(a+36b) không thể là lũy thừa của 22.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương và w=xyz3w=\sqrt[3]{xyz}. Chứng minh (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥2+2(x+y+z)/w(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)\ge2+2(x+y+z)/w.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho tam giác ABC và D là chân đường cao từ A. Gọi E, F là các điểm trên một đường thẳng qua D sao cho AE vuông góc BE, AF vuông góc CF, và E, F khác D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF. Chứng minh AN vuông góc NM.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n chia hết cho mọi số nguyên dương nhỏ hơn căn bậc ba của n.Các cách giải: 1