第4题

设 ABC 为三角形，D 为从 A 向 BC 所作高的垂足。在过 D 的一条直线上取 E、F，使 AE 垂直于 BE，AF 垂直于 CF，且 E、F 均不等于 D。设 M、N 分别为 BC、EF 的中点。证明 AN 垂直于 NM。

第 1/5 步：构造三个辅助矩形

ADMP,\quad Q B D A,\quad A D C R\text{ are rectangles}

详细分析

取 P 使 ADMP 为矩形。在直线 AP 上取 Q、R，使 QBDA 与 ADCR 为矩形。由于 Q、B、D 在直径为 AB 的圆上，R、C、D 在直径为 AC 的圆上，垂直条件说明 ADEQ 与 ADFR 均为圆内接四边形。