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亚太数学奥林匹克 · 1998年

试题

  1. 第1题设 S\mathcal S 为所有 nn 元组 (A1,A2,…,An)(A_1,A_2,\ldots,A_n) 的集合，其中每个 AiA_i 是 {1,2,…,1998}\{1,2,\ldots,1998\} 的子集。对 K∈SK\in\mathcal S，令 f(K)=∣A1∪A2∪⋯∪An∣f(K)=|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|。求 ∑K∈Sf(K)\sum_{K\in\mathcal S}f(K)。解法: 1
  2. 第2题证明：对任意正整数 aa 和 bb，(36a+b)(a+36b)(36a+b)(a+36b) 不可能是 22 的幂。解法: 1
  3. 第3题设 x,y,zx,y,z 为正实数，w=xyz3w=\sqrt[3]{xyz}。证明 (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥2+2(x+y+z)/w(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)\ge2+2(x+y+z)/w。解法: 1
  4. 第4题设 ABC 为三角形，D 为从 A 向 BC 所作高的垂足。在过 D 的一条直线上取 E、F，使 AE 垂直于 BE，AF 垂直于 CF，且 E、F 均不等于 D。设 M、N 分别为 BC、EF 的中点。证明 AN 垂直于 NM。解法: 1
  5. 第5题求最大的整数 n，使得 n 能被所有小于 n 的立方根的正整数整除。解法: 1