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亚太数学奥林匹克 · 2000年

试题

  1. 第1题设 xi=i101x_i = \frac{i}{101}，求和 S=∑i=0101xi31−3xi+3xi2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2} 的值。解法: 1
  2. 第2题沿着三角形的周界排列着 99 个圆圈，每条边上有 44 个圆圈（三个顶点处的圆圈由相邻两边共用，每条边内部各有两个圆圈）。将数字 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 分别填入这些圆圈中，使得每个圆圈恰好填入一个数字，并且满足：(i) 三角形每条边上四个数字之和都相等；(ii) 三角形每条边上四个数字的平方和也都相等。求出所有满足条件的填法。解法: 1
  3. 第3题设 ABCABC 为一个三角形。设从顶点 AA 引出的中线和角平分线与边 BCBC 的交点分别为 MM 和 NN。过点 NN 作 NANA 的垂线，分别交 MAMA 和 BABA 于点 QQ 和 PP；过点 PP 作 BABA 的垂线，交 ANAN 的延长线于点 OO。证明：QOQO 垂直于 BCBC。解法: 2
  4. 第4题设 n,kn, k 为给定的正整数，且满足 n>kn > k。证明：1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}。解法: 1
  5. 第5题给定序列 0,1,…,n0, 1, \ldots, n 的一个排列 (a0,a1,…,an)(a_0, a_1, \ldots, a_n)。如果对 i>0i > 0 有 ai=0a_i = 0，且 ai−1+1=aja_{i-1} + 1 = a_j，则将 aia_i 与 aja_j 的对换称为合法的。如果排列 (a0,a1,…,an)(a_0, a_1, \ldots, a_n) 经过若干次合法对换后变为 (1,2,…,n,0)(1, 2, \ldots, n, 0)，则称该排列是正则的。问对哪些正整数 nn，排列 (1,n,n−1,…,3,2,0)(1, n, n-1, \ldots, 3, 2, 0) 是正则的？解法: 1