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第1题

设 SS 是由 9 个互不相同的整数构成的集合,且它们的所有素因子都不超过 3。证明 SS 中含有三个互不相同的整数,其乘积为完全立方数。
第 1/6 步:为每个整数分配类型
ni=εi2ai3bi,εi∈{−1,1},t(ni)=(ai mod 3,bi mod 3)∈F32n_i=\varepsilon_i2^{a_i}3^{b_i},\qquad \varepsilon_i\in\{-1,1\},\qquad t(n_i)=(a_i\bmod3,b_i\bmod3)\in\mathbb F_3^2
详细分析

把每个元素写成 ni=εi2ai3bin_i=\varepsilon_i2^{a_i}3^{b_i},其中 εi∈{−1,1}\varepsilon_i\in\{-1,1\} 且指数非负。其类型为 t(ni)=(ai mod 3,bi mod 3)t(n_i)=(a_i\bmod3,b_i\bmod3),是 F32\mathbb F_3^2 的九个点之一;符号不影响乘积是否为完全立方数。