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第4题

证明对任意正整数 kk，存在一个有理数等差数列 a1b1,a2b2,…,akbk\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}，其中对每个 i=1,2,…,ki=1,2,\ldots,k，ai,bia_i,b_i 是互素的正整数，并且正整数 a1,b1,a2,b2,…,ak,bka_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k 全部互不相同。
第 1/5 步：选择等差数列
上一步下一步
K=k!,qi=K2+iK(1≤i≤k)K=k!,\quad q_i=\frac{K^2+i}{K}\quad(1\le i\le k)
详细分析

k=1 时显然。对 k≥2，令 K=k!，考虑 i=1,…,k 的等差数列 q_i=(K^2+i)/K；其公差为 1/K。