亚太数学奥林匹克 · 2009年

试题

第1题考虑对黑板上正实数进行如下操作：选择黑板上的数 $r$ 并擦去，然后在黑板上写下一对满足 $2r^2=ab$ 的正实数 $a$ 和 $b$ 。开始时黑板上只有一个正实数 $r$ ，进行 $k^2-1$ 次操作后得到 $k^2$ 个正实数，它们不必互异。证明黑板上存在一个不超过 $kr$ 的数。解法: 1
第2题设实数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足对 $k=1,2,3,4,5$ 有 $\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}$ 。求 $\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}$ 的值（用一个分数表示）。解法: 1
第3题平面上给定三个两两不相交且彼此外部相离的圆 $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ 。对平面上在三个圆外的每个点 $P$ ，作六点 $A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3$ ：对每个 $i=1,2,3$ ， $A_i,B_i$ 是 $\Gamma_i$ 上的不同点，且直线 $PA_i$ 和 $PB_i$ 都是 $\Gamma_i$ 的切线。若三直线 $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ 共点，则称 $P$ 为特殊点。证明所有特殊点（若存在）都在同一个圆上。解法: 1
第4题证明对任意正整数 $k$ ，存在一个有理数等差数列 $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}$ ，其中对每个 $i=1,2,\ldots,k$ ， $a_i,b_i$ 是互素的正整数，并且正整数 $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k$ 全部互不相同。解法: 1
第5题Larry 和 Rob 是乘一辆车从 Argovia 前往 Zillis 的两个机器人。两者都能控制方向盘并按如下算法驾驶：Larry 从出发起每行驶 $\ell$ 千米左转 90°；Rob 每行驶 $r$ 千米右转 90°，其中 $\ell$ 和 $r$ 是互素正整数。若两次转弯同时发生，车辆继续行驶而不改变方向。设地面平坦且车辆可向任意方向行驶。车辆从 Argovia 出发时朝向 Zillis。对于哪些数对 $(\ell,r)$ ，无论两地相距多远，车辆都必定到达 Zillis？解法: 1