MathLabs

第3题

给定2k个实数a_1,...,a_k,b_1,...,b_k，定义X_n=Σ（i从1到k）floor(a_i n+b_i)（n=1,2,...）。若数列X_n为等差数列，证明Σ（i从1到k）a_i为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。
第 3/5 步：利用等差数列性质
上一步下一步
Xn=X1+(n−1)d,nd=Xn+1−X1,A+B−k<X1≤A+B.X_n=X_1+(n-1)d,\quad nd=X_{n+1}-X_1,\quad A+B-k<X_1\le A+B.
详细分析

令d为公差。由于数列每一项都是整数，d（第二项与第一项之差）也是整数。把下一项写成nd加首项，并在下一个指标处应用夹逼，得到一个窄区间。