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亚太数学奥林匹克 · 2013年

试题

  1. 第1题设ABC为锐角三角形，高分别为AD、BE、CF，O为其外接圆圆心。证明线段OA、OF、OB、OD、OC、OE将三角形ABC分成三对面积相等的三角形。解法: 1
  2. 第2题求所有正整数n，使得(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。解法: 1
  3. 第3题给定2k个实数a_1,...,a_k,b_1,...,b_k，定义X_n=Σ（i从1到k）floor(a_i n+b_i)（n=1,2,...）。若数列X_n为等差数列，证明Σ（i从1到k）a_i为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。解法: 1
  4. 第4题设a、b为正整数，A、B为满足下列条件的有限整数集：(i) A与B不相交；(ii) 若整数i属于A或B，则i+a属于A或i-b属于B。证明a|A|=b|B|，其中|X|表示集合X的元素个数。解法: 1
  5. 第5题设四边形ABCD内接于圆omega，P为AC延长线上的一点，且PB、PD为omega的切线。C点处的切线与PD交于Q，与直线AD交于R。设AQ与omega的另一个交点为E。证明B、E、R共线。解法: 1