第1题

对正整数

m

，分别以

S(m)

和

P(m)

表示

m

的各位数字之和与数字之积。证明：对每个正整数

n

，存在正整数

a_1,a_2,\ldots,a_n

，满足

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

且当

i=1,2,\ldots,n

时

S(a_i)=P(a_{i+1})

，其中

a_{n+1}=a_1

。

第 2/3 步：计算中间各数的和与积

S(a_i)=2^{k+i-1},\qquad P(a_i)=2^{k+i-2}\quad(2\le i\le n)

详细分析

各位数字之和等于数字 2 的个数的两倍加上数字 1 的个数，而各位积是 2 的个数次幂。因此得到所示数值。