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亚太数学奥林匹克 · 2014年

试题

  1. 第1题对正整数 mm，分别以 S(m)S(m) 和 P(m)P(m) 表示 mm 的各位数字之和与数字之积。证明：对每个正整数 nn，存在正整数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n，满足 S(a1)<S(a2)<⋯<S(an)S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n) 且当 i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n 时 S(ai)=P(ai+1)S(a_i)=P(a_{i+1})，其中 an+1=a1a_{n+1}=a_1。解法: 1
  2. 第2题令 S={1,2,…,2014}S=\{1,2,\ldots,2014\}。对 SS 的每个非空子集 T⊆ST\subseteq S，从其元素中选一个代表元。求给所有非空子集分配代表元的方法数，使得当 D⊆SD\subseteq S 是三个非空子集 A,B,C⊆SA,B,C\subseteq S 的不交并时，DD 的代表元也是 A,B,CA,B,C 中至少一个的代表元。解法: 1
  3. 第3题求所有正整数 nn，使得对任意整数 kk，都存在整数 aa，令 a3+a−ka^3+a-k 被 nn 整除。解法: 1
  4. 第4题设 nn、bb 为正整数。若存在由 nn 个互不相同且小于 bb 的正整数组成的集合，使不同子集 UU、VV 中元素在 UU 中的和与在 VV 中的和从不相等，则称 nn 是 bb-可辨的。(a) 证明 88 是 100100-可辨的。(b) 证明 99 不是 100100-可辨的。解法: 1
  5. 第5题圆 ω\omega 与 Ω\Omega 交于 AA 和 BB。设 MM 是圆 ω\omega 上弧 ABAB 的中点（MM 在 Ω\Omega 内部）。圆 ω\omega 的弦 MPMP 与 Ω\Omega 交于 QQ（QQ 在 ω\omega 内部）。设 ℓP\ell_P 是 ω\omega 在 PP 处的切线，ℓQ\ell_Q 是 Ω\Omega 在 QQ 处的切线。证明由 ℓP\ell_P、ℓQ\ell_Q 和 ABAB 三直线构成的三角形的外接圆与 Ω\Omega 相切。解法: 1