MathLabs

第5题

求所有满足 a0≥2015a_0\ge2015 的正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots，使对每个整数 n≥1n\ge1：(i) an+2a_{n+2} 被 ana_n 整除；(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1，其中 sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0。
第 2/5 步：得到统一下界
上一步下一步
an≥223(n≥0)a_n\ge223\quad(n\ge0)
详细分析

取 n=1 得 a_0=3a_1-a_2 加减一，故较大的初值迫使 a_1 至少为 671。取 n=2 并利用 a_1 整除性，得 a_2 至少为 223。递推把此下界传给所有项。