竞赛 › 亚太数学奥林匹克 › 2015年 第1题 设 A B C ABC A B C D D D B C BC B C D D D A B AB A B X X X A C AC A C Y Y Y B X D BXD B X D A B C ABC A B C ω \omega ω Z ≠ B Z\ne B Z = B Z D ZD Z D Z Y ZY Z Y ω \omega ω V V V W W W A B = V W AB=VW A B = V W 解法: 1 第2题 令 S = { 2 , 3 , 4 , … } S=\{2,3,4,\ldots\} S = { 2 , 3 , 4 , … } 2 2 2 f : S → S f:S\to S f : S → S a , b ∈ S a,b\in S a , b ∈ S a ≠ b a\ne b a = b f ( a ) f ( b ) = f ( a 2 b 2 ) f(a)f(b)=f(a^2b^2) f ( a ) f ( b ) = f ( a 2 b 2 ) 解法: 1 第3题 若实数列 a 0 , a 1 , … a_0,a_1,\ldots a 0 , a 1 , … a 0 a_0 a 0 i i i a i + 1 = 2 a i + 1 a_{i+1}=2a_i+1 a i + 1 = 2 a i + 1 a i + 1 = a i a i + 2 a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2} a i + 1 = a i + 2 a i k k k a k = 2014 a_k=2014 a k = 2014 a n = 2014 a_n=2014 a n = 2014 n n n 解法: 1 第4题 设 n n n 2 n 2n 2 n 2 n 2n 2 n n n n n n n B B B R R R B B B 2 n − 1 2n-1 2 n − 1 R R R 2 n − 1 2n-1 2 n − 1 解法: 1 第5题 求所有满足 a 0 ≥ 2015 a_0\ge2015 a 0 ≥ 2015 a 0 , a 1 , a 2 , … a_0,a_1,a_2,\ldots a 0 , a 1 , a 2 , … n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 a n + 2 a_{n+2} a n + 2 a n a_n a n ∣ s n + 1 − ( n + 1 ) a n ∣ = 1 |s_{n+1}-(n+1)a_n|=1 ∣ s n + 1 − ( n + 1 ) a n ∣ = 1 s n + 1 = a n + 1 − a n + a n − 1 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 a 0 s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0 s n + 1 = a n + 1 − a n + a n − 1 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 a 0 解法: 1 首页 知识库 重大问题 测验 数学家 竞赛