第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 8/8 步：还原归一化并验证充分性

上一步下一步

P(x)=x^n+k\ \text{or}\ P(x)=-x^n+k\quad(n\ge0\text{ integer},\ k\in\mathbb Z)

详细分析

第1–6步表明归一化后的多项式为 $x^n$ ，故还原第1步的取号与平移，得到某个整数 $n\ge0$ 与整数 $k$ ，使 $P(x)=\pm x^n+k$ 。反之，若 $P(x)=\pm x^n+k$ 且 $P(s),P(t)$ 为整数，则 $s^n,t^n$ 为整数，从而 $(st)^n=s^nt^n$ 为整数， $P(st)=\pm(st)^n+k$ 也为整数。因此这些正是满足所要求性质的全部多项式。