亚太数学奥林匹克 · 2018年

试题

第1题设 $H$ 为三角形 $ABC$ 的垂心。设 $M$ 、 $N$ 分别为边 $AB$ 、 $AC$ 的中点。假设 $H$ 在四边形 $BMNC$ 内部，且三角形 $BMH$ 与 $CNH$ 的外接圆相切。过 $H$ 且平行于 $BC$ 的直线分别与三角形 $BMH$ 和 $CNH$ 的外接圆交于点 $K$ 和 $L$ 。设 $F$ 为 $MK$ 与 $NL$ 的交点， $J$ 为三角形 $MHN$ 的内心。证明 $FJ = FA$ 。解法: 1
第2题设函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 为 $f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}$ ， $g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}$ 。证明：对满足 $0<x<2018$ 的任意非整数实数 $x$ ，都有 $|f(x)-g(x)|>2$ 。解法: 1
第3题平面上 $n$ 个正方形组成的集合称为三连通的，若满足下列条件：(i) 所有正方形全等。(ii) 若两个正方形有公共点 $P$ ，则 $P$ 是每个正方形的顶点。(iii) 每个正方形恰好与三个其他正方形相接触。问满足 $2018\le n\le 3018$ 的正整数 $n$ 中，有多少个使得存在三连通的 $n$ 个正方形的集合？解法: 1
第4题设 $ABC$ 为等边三角形。从顶点 $A$ 向三角形内部引一条射线，使其到达三角形的一条边。射线到达一边时按反射定律弹回，即若以有向角 $\theta$ 到达，则以有向角 $180^\circ-\theta$ 离开。经过 $n$ 次反弹后，该射线回到 $A$ ，且始终未落在另外两个顶点中的任何一个上。求 $n$ 的所有可能取值。解法: 1
第5题求所有整系数多项式 $P(x)$ ，使得对任意实数 $s$ 、 $t$ ，若 $P(s)$ 与 $P(t)$ 都是整数，则 $P(st)$ 也是整数。解法: 1