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第1题

设 Z+\mathbb{Z}^+ 为正整数集合。求所有函数 f:Z+→Z+f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+,使得对任意正整数 aa、bb,a2+f(a)f(b)a^2+f(a)f(b) 都能被 f(a)+bf(a)+b 整除。
第 2/6 步:代入a=1得到下界
b+1∣f(b)+1 ⟹ f(b)≥b for all bb+1\mid f(b)+1 \ \Longrightarrow\ f(b)\ge b\ \text{for all}\ b
详细分析

取 a=1a=1,得 b+1∣1+f(1)f(b)=1+f(b)b+1\mid1+f(1)f(b)=1+f(b)。设 f(b)+1=k(b+1)f(b)+1=k(b+1)(kk 为正整数),则 f(b)=k(b+1)−1≥(b+1)−1=bf(b)=k(b+1)-1\ge(b+1)-1=b。故对每个正整数 bb 都有 f(b)≥bf(b)\ge b。