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亚太数学奥林匹克 · 2019年

试题

  1. 第1题设 Z+\mathbb{Z}^+ 为正整数集合。求所有函数 f:Z+→Z+f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+，使得对任意正整数 aa、bb，a2+f(a)f(b)a^2+f(a)f(b) 都能被 f(a)+bf(a)+b 整除。解法: 1
  2. 第2题设 mm 为固定的正整数。无穷数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} 定义如下：a1a_1 为正整数，且对每个整数 n≥1n\ge1，当 an<2ma_n<2^m 时 an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m，当 an≥2ma_n\ge2^m 时 an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2。对每个 mm，求 a1a_1 的所有可能取值，使得数列的每一项都是整数。解法: 1
  3. 第3题设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。解法: 1
  4. 第4题考虑一个 2018×20192018\times2019 的棋盘，每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边，则称它们为邻居。每一轮中，选出若干单位方格；然后对每个被选中的方格，计算其所有邻居的平均值，最后，在所有这些计算完成后，将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后，是否总能使所有方格中的数都相等？解法: 1
  5. 第5题求所有函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}，使得对任意实数 xx、yy，都有 f(x2+f(y))=f(f(x))+f(y2)+2f(xy)f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)。解法: 1