第1题

对奇素数 $p$，取 $a=p$、$b=f(p)$：条件变为 $f(p)+f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$，即 $2f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$。因 $f(p)\mid f(p)f(f(p))$，故也有 $f(p)\mid p^2+f(p)f(f(p))$，从而 $f(p)\mid p^2$。由于 $p$ 为素数，$f(p)\in\{1,p,p^2\}$；第2步排除 $1$（因 $f(p)\ge p>1$），第3步排除 $p^2$（因 $f(p)\le p^2-2$）。故 $f(p)=p$。