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第2题

设 mm 为固定的正整数。无穷数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} 定义如下：a1a_1 为正整数，且对每个整数 n≥1n\ge1，当 an<2ma_n<2^m 时 an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m，当 an≥2ma_n\ge2^m 时 an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2。对每个 mm，求 a1a_1 的所有可能取值，使得数列的每一项都是整数。
第 4/7 步：落点迫使m=2
上一步下一步
descending power of two lands at exponent m−1;m−1=m2 ⟹ m=2\text{descending power of two lands at exponent}\ m-1;\qquad m-1=\tfrac m2\ \Longrightarrow\ m=2
详细分析

一旦每一项都是二的幂，设 ai=2kia_i=2^{k_i}，大值规则在 ki≥mk_i\ge m 时触发，每次恰好使 kik_i 减 11，故首次降到 mm 以下的指数总是恰为 k=m−1k=m-1；这正是下一次小值规则触发之处。由第3步，要使奇部永远保持为 11，每次这样的落点都必须是边界情形 2ci=m2c_i=m，即 ki=m/2k_i=m/2。由于落点指数总是 m−1m-1，一致性要求 m−1=m/2m-1=m/2，即 m=2m=2；对其他 mm，此落点会产生奇部 bi+1=1+2∣m−1−m/2∣>1b_{i+1}=1+2^{|m-1-m/2|}>1，重复第3步的论证可知奇部最终将超过 2m2^m，与第1步矛盾。故 m=2m=2 是唯一可能的值。