第2题

设

m

为固定的正整数。无穷数列

\{a_n\}_{n\ge1}

定义如下：

a_1

为正整数，且对每个整数

n\ge1

，当

a_n<2^m

时

a_{n+1}=a_n^2+2^m

，当

a_n\ge2^m

时

a_{n+1}=a_n/2

。对每个

m

，求

a_1

的所有可能取值，使得数列的每一项都是整数。

第 6/7 步：排除指数为0的情形

上一步下一步

\ell=0:\ a_1=1<4\ \Rightarrow\ a_2=5,\ b_2=5>4\ (\text{contradicts step 1})\ \Longrightarrow\ \ell\ge1

详细分析

若 $\ell=0$ ，即 $a_1=1<4$ ，小值规则给出 $a_2=1^2+4=5$ ，其奇部 $5$ 已超过 $2^m=4$ ，与第1步矛盾。故 $\ell=0$ 不可能，只剩 $\ell\ge1$ 。