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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 3/8 步：旁心在 B、C 处的角
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N=excenter opposite E:∠NBC=90∘−c2,∠NCB=90∘−a2N=\text{excenter opposite }E:\quad \angle NBC=90^\circ-\tfrac c2,\quad \angle NCB=90^\circ-\tfrac a2
详细分析

设 NN 为三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心；它在 ∠EBC=c\angle EBC=c 与 ∠ECB=a\angle ECB=a 的外角平分线上，这些外角平分线与 BCBC 所成的角为 ∠NBC=90∘−c2\angle NBC=90^\circ-\tfrac c2 与 ∠NCB=90∘−a2\angle NCB=90^\circ-\tfrac a2（外角平分线与内角平分线垂直）。