亚太数学奥林匹克 · 2021年

试题

第1题证明：对每个实数 $r>2$ ，恰好存在两个或三个正实数 $x$ 满足方程 $x^2=r\lfloor x\rfloor$ 。（这里 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）解法: 1
第2题对多项式 $P$ 与正整数 $n$ ，定义 $P_n$ 为满足 $a<b\le n$ 且 $|P(a)|-|P(b)|$ 能被 $n$ 整除的正整数对 $(a,b)$ 的个数。求所有整系数多项式 $P$ ，使得对一切正整数 $n$ 都有 $P_n\le2021$ 。解法: 1
第3题设 $ABCD$ 为圆内接凸四边形， $\Gamma$ 为其外接圆。设 $E$ 为对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点，设 $L$ 为与边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 相切的圆的圆心，设 $M$ 为 $\Gamma$ 上不含 $A$ 、 $D$ 的弧 $BC$ 的中点。证明三角形 $BCE$ 中与顶点 $E$ 相对的旁心在直线 $LM$ 上。解法: 1
第4题考虑一个 $32\times32$ 的棋盘。在左下角的方格中放置一只朝上的老鼠，并在其他若干方格中放置奶酪。老鼠开始移动：除非遇到奶酪，否则它一直向前；遇到奶酪时，它吃掉一部分奶酪，向右转，然后继续向前。若在这一过程中老鼠恰好品尝每块奶酪一次，随后从棋盘掉落，则称含有奶酪的方格集合为好集合。证明：(a) 不存在含 $888$ 个方格的好集合；(b) 存在含至少 $666$ 个方格的好集合。解法: 1
第5题求所有函数 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ，使得对一切整数 $a$ 和 $b$ ， $f(f(a)-b)+b\,f(2a)$ 都是完全平方数。解法: 1