第4题

证明对每个正整数

t

，都存在唯一的

0,1,\ldots,t-1

的排列

a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}

，使得对每个

0\le i\le t-1

，二项式系数

\binom{t+i}{2a_i}

为奇数且

2a_i\neq t+i

。

第 5/6 步：偶数下标归结为位配对

上一步下一步

t+i=2m\text{ even}\implies S(a_i)\subsetneq S(m),\ |S(a_i)|=|S(m)|-1

详细分析

若 $t+i=2m$ 为偶数，第三步中缺失的位是某个位置 $k\ge1$ ，于是 $2a_i=2m-2^k$ ， $a_i=m-2^{k-1}$ ；等价地 $S(a_i)=S(m)\setminus\{k-1\}$ ，是恰好少一位的真子集。可以验证第四步的奇数下标公式恰好把『大』数 $m\in\{\lceil t/2\rceil,\ldots,t-1\}$ 实现为 $a_i$ ，因此剩下的偶数下标的 $a_i$ 值必须是从『小』数 $\{0,\ldots,\lceil t/2\rceil-1\}$ 到这些相同大数 $m$ 的一个双射，满足 $S(a_i)\subsetneq S(m)$ 且 $|S(a_i)|=|S(m)|-1$ 。