亚太数学奥林匹克 · 2024年

试题

第1题设 $ABC$ 为锐角三角形。设 $D$ 为边 $AB$ 上一点， $E$ 为边 $AC$ 上一点，使得直线 $BC$ 与 $DE$ 平行。设 $X$ 为四边形 $BCED$ 的内部一点。设射线 $DX$ 与 $EX$ 分别交边 $BC$ 于点 $P$ 与 $Q$ ，且 $P$ 与 $Q$ 均在 $B$ 与 $C$ 之间。设三角形 $BQX$ 与 $CPX$ 的外接圆交于点 $Y\neq X$ 。证明 $A$ 、 $X$ 、 $Y$ 三点共线。解法: 1
第2题考虑一个 $100\times100$ 的表格，将第 $a$ 行第 $b$ 列（ $1\le a,b\le100$ ）的格子等同于有序对 $(a,b)$ 。设 $k$ 为满足 $51\le k\le99$ 的整数。一枚 $k$ -马是这样一种棋子：每次移动在竖直或水平方向走一格，在另一方向走 $k$ 格；即它从 $(a,b)$ 移动到 $(c,d)$ ，使得 $(|a-c|,|b-d|)$ 等于 $(1,k)$ 或 $(k,1)$ 。 $k$ -马从格子 $(1,1)$ 出发并进行若干次移动。一个移动序列是指格子序列 $(x_0,y_0)=(1,1),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ ，使得对每个 $i=1,2,\ldots,n$ 都有 $1\le x_i,y_i\le100$ ，且 $k$ -马能从 $(x_{i-1},y_{i-1})$ 移动到 $(x_i,y_i)$ 。此时每个格子 $(x_i,y_i)$ 称为可达的。对每个 $k$ ，求可达格子的数目 $L(k)$ 。解法: 1
第3题设 $n$ 为正整数， $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 为正实数。证明 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.$ 解法: 1
第4题证明对每个正整数 $t$ ，都存在唯一的 $0,1,\ldots,t-1$ 的排列 $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ ，使得对每个 $0\le i\le t-1$ ，二项式系数 $\binom{t+i}{2a_i}$ 为奇数且 $2a_i\neq t+i$ 。解法: 1
第5题直线 $\ell$ 分别交圆内接四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 与 $AD$ 于其内部的点 $R$ 与 $S$ ，并交射线 $DC$ 于点 $C$ 之外的点 $Q$ ，交射线 $BA$ 于点 $A$ 之外的点 $P$ 。设三角形 $QCR$ 与 $QDS$ 的外接圆交于点 $N\neq Q$ ，三角形 $PAS$ 与 $PBR$ 的外接圆交于点 $M\neq P$ 。设直线 $MP$ 与 $NQ$ 交于点 $X$ ，直线 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $K$ ，直线 $BC$ 与 $AD$ 交于点 $L$ 。证明点 $X$ 在直线 $KL$ 上。解法: 1