Math Labs

Bài 5

Xét dãy vô hạn a1,a2,…a_1,a_2,\ldots gồm các số nguyên dương sao cho 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) là bội của an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} với mọi số nguyên dương m,nm,n thỏa m≤nm\le n. Chứng minh rằng dãy này hoặc bị chặn hoặc là tuyến tính. Dãy bị chặn nếu tồn tại hằng số NN sao cho an<Na_n<N với mọi số nguyên dương nn, và là tuyến tính nếu an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 với mọi số nguyên dương nn.
Bước 1 trên 10: Rút ra các tính chia hết của tổng và hiệu
Bước trướcBước tiếp
c=100!,ar+s∣c(ar+as),ar−s∣c(ar−as) (r>s)c=100!,\qquad a_{r+s}\mid c(a_r+a_s),\qquad a_{r-s}\mid c(a_r-a_s)\ (r>s)
Phân tích chi tiết

Đặt c=100!c=100!. Điều kiện chia hết ban đầu trước hết cho hai tính chia hết tuyến tính được nêu trong bước này. Nếu một ước chung chia hết mọi số hạng, chia mọi số hạng cho nó; hai tính chia hết suy ra này vẫn được bảo toàn. Vì vậy có thể giả sử dãy chuẩn hóa có ước chung bằng 11 và khôi phục thừa số chung ở cuối. So sánh điều kiện cho [r,s][r,s] và [r+1,s−1][r+1,s-1] khi s≥r+2s\ge r+2 cho ar+s∣c(ar+as)a_{r+s}\mid c(a_r+a_s); các trường hợp s=rs=r và s=r+1s=r+1 cũng cho kết luận trực tiếp. So sánh [s,r−1][s,r-1] và [s+1,r][s+1,r] cho ar−s∣c(ar−as)a_{r-s}\mid c(a_r-a_s) khi r>sr>s.