第3题

记

\mathbb{R}_+

为全体正实数组成的集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

，使得对任意

x,y,z\in\mathbb{R}_+

，都有

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

第 3/5 步：导出中点性质

上一步下一步

y=\tfrac{x+z}{2} \implies |y-x|=|y-z| \implies |f(x)-f(y)|=|f(y)-f(z)| \implies f(y)=\tfrac{f(x)+f(z)}{2}

详细分析

对 $x\ne z$ ，取 $y=\tfrac{x+z}{2}$ ，则有 $|y-x|=|y-z|$ 。由第一步得 $|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(z)|$ 。因为 $f(x)\ne f(z)$ ， $f(x),f(y),f(z)$ 中恰有一个位于另外两个之间，结合单射性即得 $f(y)=\tfrac{f(x)+f(z)}{2}$ 。