MathLabs

第4题

设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。
第 1/6 步：重新表述目标
上一步下一步
P′Q is the diameter of ω with P′Q⊥BD,AP′<AQ;P=P′⟺E,J,P′ collinearP'Q\text{ is the diameter of }\omega\text{ with }P'Q\perp BD,\quad AP'<AQ;\quad P=P'\Longleftrightarrow E,J,P'\text{ collinear}
详细分析

取 ω\omega 中垂直于 BDBD 的直径 P′QP'Q，并标记端点使 AP′<AQAP'<AQ。PI⊥BDPI\perp BD 当且仅当 PP 是该直径的一个端点，因此只需证明射线 EJEJ 与 ω\omega 的第二交点 PP 就是 P′P'，即证明 E,J,P′E,J,P' 三点共线。