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第4题

设 ABCDABCD 是有内切圆 ω\omega（圆心为 II）的四边形。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE。设 JJ 为三角形 ABDABD 的内心。射线 EJEJ 的延长线与 ω\omega 交于 PP。证明 PI⊥BDPI\perp BD。
第 5/6 步：追踪交比得出共线性
上一步下一步
pole–polar and inversion calculation  ⟹  J(IV,P′S)=A(SE,VJ)=J(SE,VA)=J(AV,ES)=J(IV,ES)  ⟹  E,J,P′ collinear\text{pole--polar and inversion calculation} \implies J(IV,P'S)=A(SE,VJ)=J(SE,VA)=J(AV,ES)=J(IV,ES) \implies E,J,P'\text{ collinear}
详细分析

将极点-极线与反演计算应用于第四步的调和点列，得到链式等式 J(IV,P′S)=A(SE,VJ)=J(SE,VA)=J(AV,ES)=J(IV,ES)J(IV,P'S)=A(SE,VJ)=J(SE,VA)=J(AV,ES)=J(IV,ES)。这里使用了第二步的 A,Q,SA,Q,S 共线以及第三步的 BDBD 是 LL 的极线。最后一个等式比较过 JJ 的同一线束中的交比，迫使直线 JP′JP' 与 JEJE 重合；因此 E,J,P′E,J,P' 三点共线。