Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1964

Đề thi

Bài 1(a) Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $7$ . (b) Chứng minh không có số nguyên dương $n$ nào để $2^n+1$ chia hết cho $7$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a,b,c$ là các cạnh của một tam giác. Chứng minh $a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le3abc$ .Các cách giải: 1
Bài 3Một đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$ . Dựng các tiếp tuyến của đường tròn song song với các cạnh tam giác. Mỗi tiếp tuyến cắt ra một tam giác từ $\triangle ABC$ , rồi nội tiếp một đường tròn vào mỗi tam giác đó. Tìm tổng diện tích của cả bốn đường tròn nội tiếp theo $a,b,c$ .Các cách giải: 1
Bài 4Mười bảy người trao đổi thư từ với nhau, mỗi người với tất cả những người còn lại. Trong thư chỉ bàn về ba chủ đề khác nhau, và mỗi cặp người trao đổi chỉ bàn về một chủ đề. Chứng minh có ít nhất ba người viết cho nhau về cùng một chủ đề.Các cách giải: 1
Bài 5Cho năm điểm trên mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào nối chúng song song, vuông góc hoặc trùng nhau. Từ mỗi điểm dựng các đường vuông góc với mọi đường nối hai trong bốn điểm còn lại. Tìm số giao điểm lớn nhất mà các đường vuông góc này có thể có.Các cách giải: 1
Bài 6Trong tứ diện $ABCD$ , nối đỉnh $D$ với $D_0$ , trọng tâm của $\triangle ABC$ . Qua $A,B,C$ kẻ các đường song song với $DD_0$ , lần lượt gặp các mặt phẳng $BCD,CAD,ABD$ tại $A_1,B_1,C_1$ . Chứng minh thể tích $ABCD$ bằng một phần ba thể tích $A_1B_1C_1D_0$ . Kết quả có còn đúng nếu chọn $D_0$ tùy ý trong $\triangle ABC$ không?Các cách giải: 1