国际数学奥林匹克 · 1965年

试题

第1题求区间 $0 \le x \le 2\\pi$ 内满足 $2\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2}$ 的所有 $x$ 。解法: 1
第2题考虑方程组 $a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$ 、 $a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$ 、 $a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$ 。对角系数 $a_{11},a_{22},a_{33}$ 为正，其余系数为负，并且每个方程的系数之和为正。证明该方程组只有解 $x_1=x_2=x_3=0$ 。解法: 1
第3题给定四面体 $ABCD$ ，其中对边 $AB$ 和 $CD$ 的长度分别为 $a$ 和 $b$ 。两条异面直线的距离为 $d$ ，夹角为 $\theta$ 。一个同时平行于 $AB$ 和 $CD$ 的平面将四面体分成两个立体。该平面到 $AB$ 、 $CD$ 的距离之比为 $k$ 。求所得两个立体的体积比。解法: 1
第4题求所有四个实数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ ，使任取其中一个数与其余三个数之积的和都等于 $2$ 。解法: 1
第5题设 $\triangle OAB$ 的角 $AOB$ 为锐角。过点 $M\ne O$ 分别作 $OA$ 、 $OB$ 的垂线，垂足为 $P$ 、 $Q$ 。设 $H$ 为 $\triangle OPQ$ 的垂心。当 $M$ 运动于 (a) 边 $AB$ ；(b) $\triangle OAB$ 的内部时，求 $H$ 的轨迹。解法: 1
第6题在平面上给定 $n$ 个点， $n\\ge3$ ，并连接每一对点。设最长线段的长度为 $d$ 。长度为 $d$ 的连接线段称为直径。证明直径的条数至多为 $n$ 。解法: 1