Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1965

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các giá trị $x$ trong khoảng $0 \le x \le 2\\pi$ thỏa mãn $2\\cos x \le |\\sqrt{1+\\sin 2x}-\\sqrt{1-\\sin 2x}| \le \\sqrt{2}$ .Các cách giải: 1
Bài 2Xét hệ $a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$ , $a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$ , $a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$ . Các hệ số đường chéo $a_{11},a_{22},a_{33}$ dương, các hệ số còn lại âm, và tổng các hệ số trong mỗi phương trình dương. Chứng minh hệ chỉ có nghiệm $x_1=x_2=x_3=0$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho tứ diện $ABCD$ , trong đó hai cạnh đối $AB$ và $CD$ có độ dài $a$ và $b$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là $d$ và góc giữa chúng là $\theta$ . Một mặt phẳng song song với cả $AB$ và $CD$ chia tứ diện thành hai khối. Tỉ số khoảng cách từ mặt phẳng đến $AB$ và $CD$ là $k$ . Tính tỉ số thể tích của hai khối.Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các bộ bốn số thực $x_1,x_2,x_3,x_4$ sao cho tổng của bất kỳ một số nào với tích của ba số còn lại đều bằng $2$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $\triangle OAB$ có góc $AOB$ nhọn. Qua điểm $M\ne O$ , dựng các đường vuông góc với $OA$ và $OB$ , có chân lần lượt là $P$ và $Q$ . Gọi $H$ là trực tâm của $\triangle OPQ$ . Tìm quỹ tích của $H$ khi $M$ chạy trên (a) cạnh $AB$ ; (b) miền trong $\triangle OAB$ .Các cách giải: 1
Bài 6Trong mặt phẳng cho một tập $n$ điểm, $n\\ge3$ , và nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Gọi $d$ là độ dài đoạn dài nhất. Một đường kính là đoạn nối có độ dài $d$ . Chứng minh số đường kính không vượt quá $n$ .Các cách giải: 1